Kofaktör Açılımı

Bir matrisin determinantını hesaplamak gerektiğinde matrisin boyutlarına bağlı olarak birden çok yöntem karşımıza çıkar.
Örneğin 2x2 boyutlarında bir matrisin determinantı esas köşegen üzerindeki elemanların çarpımından yardımcı köşegen üzerindeki elemanların çıkarılmasıyla elde edilebilir.

Veya 3x3 tipinde bir matrisin determinantı Sarrus Metoduyla kolaylıkla hesaplanabilir. Maalesef bu metod sadece 3x3 matrisler için geçerlidir.

Peki herhangi bir boyutta matrisin determinantı için bir yöntem yok mu? Elbette var, bunlardan biri elementer satır işlemleriyle determinant bulma diğeri ise kofaktör açılımı ile determinant bulma yöntemleridir.

Kofaktör açılımı her boyuttan matrislerin determinantını bize verecektir. boyutları nxn olan bir matrisin her bir elemanına karşılık gelecek şekilde nxn tane kofaktörü vardır. Matrisin satır ya da sütunlarından bir tanesi seçilir (bolca sıfırı olan makbuldür) bu satır veya sütun üzerindeki elemanlar kendilerine ait kofaktörlerle çarpılır ve bu çarpımların toplamı bize matrisin determinantını verir. Yöntemden de anlaşılacağı gibi her bir satır ve sütun bizim için bir alternatif yol verecektir.

Aşağıda kofaktör açılımı ile determinant hesabını anlatan bir video mevcuttur.

Cramer Kuralı

Bilinmeyen sayısı kadar denklemi olan bir lineer denklem sisteminin çözümü mevcut ise bu çözüm Cramer Kuralı denilen bir kural ile de bulunabilir.

Ax=b lineer denklem sistemi

Cramer Kuralı determinant hesabına dayanır.  Denklem sisteminin sağ tarafta bulunan b vektörü A matrisinin birinci sütununun yerine yazılarak elde edilen matrisin determinantı A matrisinin determinantına bölünerek birinci bilinmeyen x_1 bulunur. Sağ taraf vektörü diğer bilinmeyenler için her seferinde ilgili sütunun yerine yazılır diğer sütunlar değişmez ve elde edilen matrisin determinantı her seferinde A matrisinin determinantına bölünerek aranan bilinmeyen hesaplanır.

Aşağıda Cramer Yöntemiyle bir lineer denklem sisteminin nasıl çözüldüğü anlatılmaktadır.

Bir Matrisin Rankı

Bir A matrisin satırlarını birer vektör olarak ele aldığımızda, bu vektörler bir vektör uzayı oluştururlar (gererler). Bu vektör uzayına A matrisinin satır uzayı denir. Benzer bir şekilde A matrisinin sütunlarının germiş olduğu uzaya da A'nın sütun uzayı deriz.

A matrisinin satır uzayının boyutu ve sütun uzayının boyutu eşit ve r gibi bir sayıdır işte bu sayı A matrisinin rankı olarak adlandırılır.

m > n olmak üzere mxn tipindeki bir A matrisinin rankı en fazla n olabilir ve bu durumda A matrisine full rank (tam rank) matris denir. Aksi halde A matrisi eksik ranklı bir matristir.

Rank bir matristeki lineer bağımsız satır ve lineer bağımsız sütun sayısına eşittir.

Kare bir matris full rank ise, matris tersinir bir matristir ve determinantı sıfırdan farklıdır.

Rank hesaplamanın yollarından biri m > n olmak üzere nxn tipindeki alt matrislerden başlayarak determinantı sıfırdan farklı alt matrisler aramaktır. Diyelim ki nxn tipindeki tüm alt matrislerin determinantı sıfır, sonraki adımda (n-1)x(n-1) tipindeki alt matrislerin determinantları incelenir. Determinantı sıfırdan farklı en büyük boyutlu kare matris bize rankın ne olduğunu söyler.

Bir diğer yöntem ise elementer satır işlemlerine dayanır, bu yöntemde matris satır işlemleriyle satırca eşelon forma getirilir, satırca eşelon formda sıfırdan farklı satır sayısı matrisin rankını verir.

Aşağıda bir matrisin rankının elementer satır işlemleri ile bulunuşu anlatılmıştır.

Gauss Jordan İndirgeme (Yok Etme) Metodu

Gauss Jordan İndirgeme (veya yok etme) (GJİ) metodu lineer denklem sistemlerinin çözüm yöntemlerinden birisidir. Gauss Yok Etme (GYE) metodunun kardeşi diyebiliriz bu metoda.

GYE metodunda matrisin satırca eşelon formunu elde edip sonrasında geri yerine koyma (back substitution) uygulayarak denklem sisteminin çözümü elde ediliyordu.

GJİ metodunda ise matrisin satırca eşelon formuyla yetinmeyip indirgenmiş satırca eşelon formu elde edildikten sonra artık geri yerine koymaya gerek kalmadan denklem sisteminin çözümleri direkt olarak karşımıza çıkmaktadır.

Aşağıdaki videomuzda Gauss Jordan İndirgeme Metodu anlatılmış ve örneklendirilmiştir.

Satır İşlemleri ile Determinant Bulma

2x2 tipide bir matrisin determinantı esas köşegen üzerindeki elemanların çarpımından yardımcı köşegen üzerindeki elemanların çarpımı çıkarılarak elde edilir.

3x3 tipindeki matrislerin determinantı ise Sarrus yöntemiyle yine kolayca hesaplanabilmektedir.

Kofaktör açılımı her boyutta kare matrislerin determinantını bulmada kullanılabilmekte ise de kofaktörlerin buluması zahmetli bir işlemdir.

Satır işlemleri kullanılarak bir matris üst üçgensel hale getirilerek determinant esas köşegen üzerindeki elemanların çarpımına indirgenebilir.

Peki burada elementer satır işlemlerinin determinanta etkisi nasıl olacaktır? Özetle

• İki satırın yerini değiştirmek determinantın işaretini değiştirir.
• Bir satırı herhangi bir sayıyla çarpmak determinantı o sayıyla çarpmak demektir.
• Bir satırın herhangi bir katını bir başka satıra eklemek determinantı değiştirmez.

Aşağıdaki videoda 4x4 tipinde bir matrisin satır işlemleri kullanılarak determinantının nasıl bulunduğu anlatılmıştır.

Elementer Satır İşlemleri

Matrislere uygulayabileceğimiz satır işlemleri:

• İki satırın yerini değiştirme,
• Bir satırın (sıfırdan farklı) herhangi bir katını alma,
• Bir satırın herhangi bir katını bir başka satıra ekleme.

şeklinde 3 tanedir. Bu satır işlemlerini gerek denklem sistemlerinin çözümünde, gerek determinant hesaplarken gerekse rank bulurken kullanabiliriz. 

Elementer satır işlemlerini matrisler yerine direkt olarak denklem sistemlerine uygulamak da mümkündür.

Aşağıdaki videomuzda elementer satır işlemleri örneklerle anlatılmıştır.

Gauss Yok Etme Metodu

Gauss yok etme metodu lineer denklem sistemlerinin çözüm yollarından önemli bir tanesidir. Gauss yok etme metodunda verilen lineer denklem sistemi önce ilaveli matris şeklinde yazılır.

Ardından, elementer satır işlemleri kullanılarak bu ilaveli matris satırca eşelon forma getirilir. Geri yerine koyma işlemiyle sistemin çözümüne ulaşılır. Aşağıdaki videoda Gauss Yok Etme yöntemiyle bir lineer denklem sisteminin nasıl çözüleceğini izleyebilirsiniz.

Lineer Cebir Ders Notları