Bir Matrisin Rankı

Bir A matrisin satırlarını birer vektör olarak ele aldığımızda, bu vektörler bir vektör uzayı oluştururlar (gererler). Bu vektör uzayına A matrisinin satır uzayı denir. Benzer bir şekilde A matrisinin sütunlarının germiş olduğu uzaya da A'nın sütun uzayı deriz.

A matrisinin satır uzayının boyutu ve sütun uzayının boyutu eşit ve r gibi bir sayıdır işte bu sayı A matrisinin rankı olarak adlandırılır.

m > n olmak üzere mxn tipindeki bir A matrisinin rankı en fazla n olabilir ve bu durumda A matrisine full rank (tam rank) matris denir. Aksi halde A matrisi eksik ranklı bir matristir.

Rank bir matristeki lineer bağımsız satır ve lineer bağımsız sütun sayısına eşittir.

Kare bir matris full rank ise, matris tersinir bir matristir ve determinantı sıfırdan farklıdır.

Rank hesaplamanın yollarından biri m > n olmak üzere nxn tipindeki alt matrislerden başlayarak determinantı sıfırdan farklı alt matrisler aramaktır. Diyelim ki nxn tipindeki tüm alt matrislerin determinantı sıfır, sonraki adımda (n-1)x(n-1) tipindeki alt matrislerin determinantları incelenir. Determinantı sıfırdan farklı en büyük boyutlu kare matris bize rankın ne olduğunu söyler.

Bir diğer yöntem ise elementer satır işlemlerine dayanır, bu yöntemde matris satır işlemleriyle satırca eşelon forma getirilir, satırca eşelon formda sıfırdan farklı satır sayısı matrisin rankını verir.

Aşağıda bir matrisin rankının elementer satır işlemleri ile bulunuşu anlatılmıştır.